Вопросы для подготовки к экзамену
РАЗДЕЛ 1. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ОСНОВЫ АНАЛИЗА
1. Полиадные базисы. Тензоры произвольного ранга. Операции над тензорами.
2. Интегральные функционалы, зависящие от неизвестной функции, её первой производной и независимой переменной. Условия достижения экстремума функционала, которым должна удовлетворять функция с закрепленными конечными точками (уравнения Эйлера-Лагранжа). Задача о брахистохроне.
3. Инварианты тензора второго ранга в трехмерном пространстве.
4. Условия экстремума функционала, зависящего от нескольких неизвестных функций и их первых производных.
РАЗДЕЛ 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ
5. Антисимметричный тензор второго ранга в трехмерном пространстве и векторное произведение векторов. Векторное произведение (трехмерных) тензоров произвольного ранга.
6. Условия экстремума функционала, зависящего от функции и её производных различных порядков.
7. Скалярные и векторные функции скалярных переменных, их дифференцирование.
8. Скалярные и векторные функции векторного аргумента в трехмерном пространстве. Пространственные дифференциальные векторные операции первого порядка. Оператор «набла». Теорема Гельмгольца.
9. Комплексные числа. Действительная и мнимая часть комплексной величины. Модуль и аргумент комплексной величины. Комплексная плоскость. Расширенная комплексная плоскость.
10. Интегральные тождества векторного анализа.
11. Элементарные функции комплексного переменного (степенная, показательная, логарифмическая). Формула Эйлера. Формула Муавра. Тригонометрические и экспоненциальные функции. Представление о римановой поверхности комплексной функции комплексного переменного.
12. Дифференциальные операции векторного анализа второго порядка.
13. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитичность.
14. Скалярное произведение функций. Основные и обобщенные функции. Сложение и дифференцирование обобщенных функций.
РАЗДЕЛ 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПРЕМЕННОГО
15. Понятие о конформных отображениях, осуществляемых аналитическими в некоторой области функциями. Преобразование инверсии. Линейные и дробно-линейные преобразования. Преобразования, осуществляемые элементарными функциями (степенной, экспоненциальной, логарифмической ...).
16. Применение функций комплексного переменного для описания «плоских» физических полей.
17. Интеграл от комплексной функции. Гомотопные пути в комплексной области. Теорема Коши. Обобщенная теорема Коши.
18. Интегральные функционалы, зависящие от неизвестной функции, её первой производной и независимой переменной. Условия достижения экстремума функционала, которым должна удовлетворять функция с закрепленными конечными
19. точками (уравнения Эйлера-Лагранжа). Задача о брахистохроне.
20. Интегральная формула Коши. Теорема о среднем.
21. Условия экстремума функционала, зависящего от нескольких неизвестных функций и их первых производных.
22. Ряд Тейлора для функции, голоморфной в круге, и ряд Лорана для функции, голоморфной в кольце. Правильная и главная части ряда Лорана.
РАЗДЕЛ 4. ПОНЯТИЕ ОБ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЯХ
23. Особые точки комплексных функций. Классификация изолированных особых точек. Вычет функции в изолированной особой точке. Теорема Коши о вычетах.
24. Условия экстремума функционала, зависящего от функции нескольких переменных и её производных по ним.
25. Преобразование Лапласа. Свойства преобразования Лапласа (преобразования производных, интегралов, произведений, сверток функций, «теорема о сдвиге» и т.п.). Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа («операционного исчисления»).
26. Элементарные функции комплексного переменного (степенная, показательная, логарифмическая). Формула Эйлера. Формула Муавра. Тригонометрические и экспоненциальные функции. Представление о римановой поверхности комплексной функции комплексного переменного.
27. Линейные преобразования векторов. Тензоры второго ранга. Тензорное произведение векторов. Диадные базисы. Метрический тензор.
28. Понятие о конформных отображениях, осуществляемых аналитическими в некоторой области функциями. Преобразование инверсии. Линейные и дробно- линейные преобразования. Преобразования, осуществляемые элементарными функциями (степенной, экспоненциальной, логарифмической ...).
29. Интегральные функционалы, зависящие от неизвестной функции, её первой производной и независимой переменной. Условия достижения экстремума функционала, которым должна удовлетворять функция с закрепленными конечными точками (уравнения Эйлера-Лагранжа). Задача о брахистохроне.
30. Интегральные функционалы, зависящие от неизвестной функции, её первой производной и независимой переменной. Условия достижения экстремума функционала, которым должна удовлетворять функция с закрепленными конечными точками (уравнения Эйлера-Лагранжа). Задача о брахистохроне.
31. Ряд Фурье (экспоненциальный), коэффициенты ряда Фурья для функции действительного переменного. Комплексное интегральное преобразование Фурье (прямое и обратное в несимметричной и симметричной формах). Представление Фурье для дельта-функии Дирака. Равенство Парсеваля.
32. Дифференциальные операции векторного анализа второго порядка.