Кафедра общей и прикладной геофизики

Вопросы для подготовки к экзамену

РАЗДЕЛ 1. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ОСНОВЫ АНАЛИЗА

1. Полиадные базисы. Тензоры произвольного ранга. Операции над тензорами.

2. Интегральные функционалы, зависящие от неизвестной функции, её первой производной и независимой переменной. Условия достижения экстремума функционала, которым должна удовлетворять функция с закрепленными конечными точками (уравнения Эйлера-Лагранжа). Задача о брахистохроне.

3. Инварианты тензора второго ранга в трехмерном пространстве.

4. Условия экстремума функционала, зависящего от нескольких неизвестных функций и их первых производных.

РАЗДЕЛ 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ

5. Антисимметричный тензор второго ранга в трехмерном пространстве и векторное произведение векторов. Векторное произведение (трехмерных) тензоров произвольного ранга.

6. Условия экстремума функционала, зависящего от функции и её производных различных порядков.

7. Скалярные и векторные функции скалярных переменных, их дифференцирование.

8. Скалярные и векторные функции векторного аргумента в трехмерном пространстве. Пространственные дифференциальные векторные операции первого порядка. Оператор «набла». Теорема Гельмгольца.

9. Комплексные числа. Действительная и мнимая часть комплексной величины. Модуль и аргумент комплексной величины. Комплексная плоскость. Расширенная комплексная плоскость.

10. Интегральные тождества векторного анализа.

11. Элементарные функции комплексного переменного (степенная, показательная, логарифмическая). Формула Эйлера. Формула Муавра. Тригонометрические и экспоненциальные функции. Представление о римановой поверхности комплексной функции комплексного переменного.

12. Дифференциальные операции векторного анализа второго порядка.

13. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитичность.

14. Скалярное произведение функций. Основные и обобщенные функции. Сложение и дифференцирование обобщенных функций.

РАЗДЕЛ 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПРЕМЕННОГО

15. Понятие о конформных отображениях, осуществляемых аналитическими в некоторой области функциями. Преобразование инверсии. Линейные и дробно-линейные преобразования. Преобразования, осуществляемые элементарными функциями (степенной, экспоненциальной, логарифмической ...).

16. Применение функций комплексного переменного для описания «плоских» физических полей.

17. Интеграл от комплексной функции. Гомотопные пути в комплексной области. Теорема Коши. Обобщенная теорема Коши.

18. Интегральные функционалы, зависящие от неизвестной функции, её первой производной и независимой переменной. Условия достижения экстремума функционала, которым должна удовлетворять функция с закрепленными конечными

19. точками (уравнения Эйлера-Лагранжа). Задача о брахистохроне.

20. Интегральная формула Коши. Теорема о среднем.

21. Условия экстремума функционала, зависящего от нескольких неизвестных функций и их первых производных.

22. Ряд Тейлора для функции, голоморфной в круге, и ряд Лорана для функции, голоморфной в кольце. Правильная и главная части ряда Лорана.

РАЗДЕЛ 4. ПОНЯТИЕ ОБ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЯХ

23. Особые точки комплексных функций. Классификация изолированных особых точек. Вычет функции в изолированной особой точке. Теорема Коши о вычетах.

24. Условия экстремума функционала, зависящего от функции нескольких переменных и её производных по ним.

25. Преобразование Лапласа. Свойства преобразования Лапласа (преобразования производных, интегралов, произведений, сверток функций, «теорема о сдвиге» и т.п.). Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа («операционного исчисления»).

26. Элементарные функции комплексного переменного (степенная, показательная, логарифмическая). Формула Эйлера. Формула Муавра. Тригонометрические и экспоненциальные функции. Представление о римановой поверхности комплексной функции комплексного переменного.

27. Линейные преобразования векторов. Тензоры второго ранга. Тензорное произведение векторов. Диадные базисы. Метрический тензор.

28. Понятие о конформных отображениях, осуществляемых аналитическими в некоторой области функциями. Преобразование инверсии. Линейные и дробно- линейные преобразования. Преобразования, осуществляемые элементарными функциями (степенной, экспоненциальной, логарифмической ...).

29. Интегральные функционалы, зависящие от неизвестной функции, её первой производной и независимой переменной. Условия достижения экстремума функционала, которым должна удовлетворять функция с закрепленными конечными точками (уравнения Эйлера-Лагранжа). Задача о брахистохроне.

30. Интегральные функционалы, зависящие от неизвестной функции, её первой производной и независимой переменной. Условия достижения экстремума функционала, которым должна удовлетворять функция с закрепленными конечными точками (уравнения Эйлера-Лагранжа). Задача о брахистохроне.

31. Ряд Фурье (экспоненциальный), коэффициенты ряда Фурья для функции действительного переменного. Комплексное интегральное преобразование Фурье (прямое и обратное в несимметричной и симметричной формах). Представление Фурье для дельта-функии Дирака. Равенство Парсеваля.

32. Дифференциальные операции векторного анализа второго порядка.